// cl_UDS_sqrt().
// General includes.
#include "cl_sysdep.h"
// Specification.
#include "cl_DS.h"
// Implementation.
#include "cl_low.h"
#include "cln/abort.h"
namespace cln {
// We observe the following timings:
// Time for square root of a_len = 2*N by b_len = N digits,
// OS: Linux 2.2, intDsize==32, OS: TRU64/4.0, intDsize==64,
// Machine: P-III/450MHz Machine: EV5/300MHz:
// N standard Newton standard Newton
// 30 0.00002 0.00009 0.00011 0.00027
// 100 0.00012 0.00052 0.00057 0.0017
// 300 0.00087 0.0031 0.0037 0.0091
// 1000 0.0089 0.020 0.037 0.069
// 3000 0.087 0.11 <-(~3200) 0.30 0.28 <- (~2750)
// 10000 1.27 0.55 3.5 1.3
// 30000 12.7 1.35 31.1 3.4
// Newton faster for 3200<N Newton faster for 2750<N
// When in doubt, prefer to choose the standard algorithm.
#if CL_USE_GMP
static inline cl_boolean cl_recipsqrt_suitable (uintL n)
{ return (cl_boolean)(n >= 3200); }
#else
// Use the old default values from CLN version <= 1.0.3 as a crude estimate.
// Time for square root of a_len = 2*N by b_len = N digits,
// on a i486 33 MHz running Linux:
// N standard Newton
// 10 0.00022 0.00132
// 25 0.00082 0.0047
// 50 0.0026 0.0130
// 100 0.0095 0.038
// 250 0.057 0.154
// 500 0.22 0.46
// 1000 0.90 1.39
// 2500 6.0 4.6
// 5000 24.1 10.7
// 10000 98 23.2
// -----> Newton faster for 1570 <= N <= 1790 and for N >= 2100.
static inline cl_boolean cl_recipsqrt_suitable (uintL n)
{ return (cl_boolean)(n >= 2100); }
#endif
// Bildet zu einer Unsigned Digit sequence a die Wurzel
// (genauer: Gaußklammer aus Wurzel aus a).
// squarep = cl_UDS_sqrt(a_MSDptr,a_len,a_LSDptr, &b);
// > a_MSDptr/a_len/a_LSDptr: eine UDS
// < NUDS b: Gaußklammer der Wurzel aus a
// < squarep: cl_true falls a = b^2, cl_false falls b^2 < a < (b+1)^2.
// Methode:
// erst A normalisieren. A=0 --> B=0, fertig.
// Wähle n so, daß beta^(2n-2) <= A < beta^(2n).
// Wähle s (0<=s<16) so, daß beta^(2n)/4 <= A*2^(2s) < beta^(2n).
// Setze A:=A*2^(2s) und kopiere dabei A. Suche B=floor(sqrt(A)).
// Mache Platz für B=[0,b[n-1],...,b[0]], (mit einem Nulldigit Platz davor,
// da dort nicht B, sondern 2*B abgespeichert werden wird).
// Auf den Plätzen [a[2n-1],...,a[2n-2j]] wird die Differenz
// [a[2n-1],...,a[2n-2j]] - [b[n-1],...,b[n-j]] ^ 2 abgespeichert.
// Bestimme b[n-1] = floor(sqrt(a[2n-1]*beta+a[2n-2])) mit Heron/Newton:
// {x:=beta als vorheriger Anfangswert, dann:}
// x := floor((beta+a[2n-1])/2)
// wiederhole: d:=floor((a[2n-1]*beta+a[2n-2])/x).
// Falls d<beta (kein Überlauf) und d<x,
// setze x:=floor((x+d)/2), nochmals.
// b[n-1]:=x. In B um ein Bit nach links verschoben abspeichern.
// {Wegen a[2n-1]>=beta/4 ist b[n-1]>=beta/2.}
// Erniedrige [a[2n-1],a[2n-2]] um b[n-1]^2.
// Für j=1,...,n:
// {Hier [b[n-1],...,b[n-j]] = floor(sqrt(altes [a[2n-1],...,a[2n-2j]])),
// in [a[2n-1],...,a[2n-2j]] steht jetzt der Rest
// [a[2n-1],...,a[2n-2j]] - [b[n-1],...,b[n-j]]^2, er ist >=0 und
// und <= 2 * [b[n-1],...,b[n-j]], belegt daher höchstens j Digits und 1 Bit.
// Daher sind nur [a[2n-j],...,a[2n-2j]] von Belang.}
// Für j<n: Bestimme die nächste Ziffer:
// b* := min(beta-1,floor([a[2n-j],...,a[2n-2j-1]]/(2*[b[n-1],...,b[n-j]]))).
// und [a[2n-j],...,a[2n-2j-1]] :=
// [a[2n-j],...,a[2n-2j-1]] - b* * 2 * [b[n-1],...,b[n-j]] (>= 0).
// Im einzelnen:
// b* := min(beta-1,floor([a[2n-j],a[2n-j-1],a[2n-j-2]]/(2*b[n-1]))),
// [a[2n-j],...,a[2n-2j-1]] wie angegeben erniedigen.
// Solange die Differenz <0 ist, setze b* := b* - 1 und
// erhöhe [a[2n-j],...,a[2n-2j-1]] um 2 * [b[n-1],...,b[n-j]].
// Erniedrige [a[2n-j],...,a[2n-2j-2]] um b* ^ 2.
// Tritt dabei ein negativer Carry auf,
// so setze b* := b* - 1,
// setze b[n-j-1] := b* (im Speicher um 1 Bit nach links verschoben),
// erhöhe [a[2n-j],...,a[2n-2j-2]] um 2*[b[n-1],...,b[n-j-1]]+1.
// Sonst setze b[n-j-1] := b* (im Speicher um 1 Bit nach links verschoben).
// Nächstes j.
// Für j=n:
// Falls [a[n],...,a[0]] = [0,...,0], ist die Wurzel exakt, sonst nicht.
// Ergebnis ist [b[n-1],...,b[0]] * 2^(-s), schiebe also im Speicher
// [b[n],...,b[0]] um s+1 Bits nach rechts.
// Das Ergebnis ist eine NUDS der Länge n.
cl_boolean cl_UDS_sqrt (const uintD* a_MSDptr, uintC a_len, const uintD* a_LSDptr, DS* b_)
{
// A normalisieren:
while ((a_len>0) && (mspref(a_MSDptr,0)==0)) { msshrink(a_MSDptr); a_len--; }
if (a_len==0) // A=0 -> B := NUDS 0
{ b_->LSDptr = b_->MSDptr; b_->len = 0; return cl_true; }
CL_ALLOCA_STACK;
// n und s bestimmen:
var uintC n = ceiling(a_len,2); // a_len = 2n oder 2n-1, n>0.
var uintL s;
{ var uintD msd = mspref(a_MSDptr,0); // a[2n] bzw. a[2n-1]
#if 0
s = 0;
while /* ((msd & (bit(intDsize-1)|bit(intDsize-2))) ==0) */
(((sintD)msd >= 0) && ((sintD)(msd<<1) >= 0))
{ msd = msd<<2; s++; }
#else
integerlengthD(msd, s = intDsize - ); s = s>>1;
#endif
}
// Noch ist s nur modulo intDsize/2 bestimmt.
// A um 2s Bits nach links verschoben kopieren:
var uintD* new_a_MSDptr;
{ var uintD* new_a_LSDptr;
num_stack_alloc(2*(uintL)n,new_a_MSDptr=,new_a_LSDptr=); // 2n Digits Platz belegen
{var uintL shiftcount = 2*s;
if (!((a_len & bit(0)) ==0)) // a_len ungerade?
{ s += intDsize/2; lsprefnext(new_a_LSDptr) = 0; } // ja -> ein Nulldigit einschieben
if (shiftcount==0)
{ copy_loop_lsp(a_LSDptr,new_a_LSDptr,a_len); }
else
{ shiftleftcopy_loop_lsp(a_LSDptr,new_a_LSDptr,a_len,shiftcount); }
}}
#define a_MSDptr new_a_MSDptr
// Nun ist A = a_MSDptr/2n/..
if (cl_recipsqrt_suitable(n))
{ // C := 1/sqrt(A) und dann D := A*C näherungsweise errechnen.
// D evtl. korrigieren, liefert B.
var uintD* c_MSDptr;
var uintD* c_LSDptr;
var uintD* d_MSDptr;
var uintD* d_LSDptr;
var uintD* d2_MSDptr;
num_stack_alloc(n+2, c_MSDptr=,c_LSDptr=);
num_stack_alloc(2*n+3, d_MSDptr=,d_LSDptr=);
num_stack_alloc(2*n, d2_MSDptr=,);
// 1/4 <= a < 1.
cl_UDS_recipsqrt(a_MSDptr,2*n,c_MSDptr,n);
// 1 <= c <= 2, | 1/sqrt(a) - c | < 1/2*beta^-n.
cl_UDS_mul(a_MSDptr mspop (n+1),n+1,c_LSDptr,n+2,d_LSDptr);
// 1/4 <= d < 2, | sqrt(a) - d | < beta^-n.
if (mspref(d_MSDptr,0) > 0)
{ dec_loop_lsp(d_MSDptr mspop (n+1),n+1);
if (mspref(d_MSDptr,0) > 0) cl_abort();
}
// D is our guess for B. Square to see how much we have to correct.
cl_UDS_mul_square(d_MSDptr mspop (1+n),n,d2_MSDptr mspop 2*n);
// Store D.
b_->LSDptr = copy_loop_msp(d_MSDptr mspop 1,b_->MSDptr,n);
b_->len = n;
// Store 2*D in place of D.
if (shift1left_loop_lsp(d_MSDptr mspop (1+n),n))
mspref(d_MSDptr,0) = 1;
// Compare D^2 against A.
if (subfrom_loop_lsp(d2_MSDptr mspop 2*n,a_MSDptr mspop 2*n,2*n))
// guessed too high, decrement D
{ dec_loop_lsp(b_->LSDptr,n);
dec_loop_lsp(d_MSDptr mspop (1+n),1+n); // store 2*D+1
if (!addto_loop_lsp(d_MSDptr mspop (1+n),a_MSDptr mspop 2*n,1+n))
cl_abort();
if (!inc_loop_lsp(a_MSDptr mspop (n-1),n-1))
cl_abort();
}
else if (test_loop_msp(a_MSDptr,n-1))
// guessed way too low
cl_abort();
else if (compare_loop_msp(a_MSDptr mspop (n-1),d_MSDptr,1+n) > 0)
// guessed too low, increment D
{ inc_loop_lsp(b_->LSDptr,n);
mspref(d_MSDptr,n) |= bit(0); // store 2*D-1
subfrom_loop_lsp(d_MSDptr mspop (1+n),a_MSDptr mspop 2*n,1+n);
inc_loop_lsp(d_MSDptr mspop (1+n),1+n); // store 2*D
if (compare_loop_msp(a_MSDptr mspop (n-1),d_MSDptr,1+n) > 0)
cl_abort();
}
else
// guessed ok
{}
// Schiebe b um s Bits nach rechts:
if (s > 0)
shiftright_loop_msp(b_->MSDptr,n,s);
// Teste, ob alle a[n],...,a[0]=0 sind:
if (test_loop_msp(a_MSDptr mspop (n-1),n+1))
return cl_false;
else
return cl_true; // ja -> Wurzel exakt
}
// Platz für B belegen:
{ var uintD* b_MSDptr = b_->MSDptr mspop -1; // ab hier n+1 Digits Platz
var uintD b_msd;
// B = [0,b[n-1],...,b[0]] = b_MSDptr/n+1/..
// Bestimmung von b[n-1]:
{ var uintD a_msd = mspref(a_MSDptr,0); // a[2n-1]
var uintD a_2msd = mspref(a_MSDptr,1); // a[2n-2]
#if HAVE_DD
var uintDD a_msdd = highlowDD(a_msd,a_2msd); // a[2n-1]*beta+a[2n-2]
#endif
// Anfangswert: x := floor((beta + a[2n-1])/2)
var uintD x = floor(a_msd,2) | bit(intDsize-1);
loop // Heron-Iterationsschleife
{ var uintD d;
// Dividiere d := floor((a[2n-1]*beta+a[2n-2])/x) :
if (a_msd>=x) break; // Überlauf -> d>=beta -> fertig
#if HAVE_DD
divuD(a_msdd,x, d=,);
#else
divuD(a_msd,a_2msd,x, d=,);
#endif
if (d >= x) break; // d>=x -> fertig
// Nächste Iteration: x := floor((x+d)/2)
// (Da die Folge der x bekanntlich monoton fallend ist
// und bei b[n-1] >= beta/2 endet, muß x >= beta/2 werden,
// d.h. x+d>=beta.)
#if HAVE_DD
x = (uintD)(floor((uintDD)x + (uintDD)d, 2));
#else
x = floor((uintD)(x+d),2) | bit(intDsize-1);
#endif
}
// x = b[n-1] fertig berechnet.
b_msd = x;
// Quadrieren und von [a[2n-1],a[2n-2]] abziehen:
#if HAVE_DD
a_msdd -= muluD(x,x);
mspref(a_MSDptr,0) = highD(a_msdd); mspref(a_MSDptr,1) = lowD(a_msdd);
#else
{var uintD x2hi;
var uintD x2lo;
muluD(x,x, x2hi=,x2lo=);
mspref(a_MSDptr,0) = a_msd - x2hi;
if (a_2msd < x2lo) { mspref(a_MSDptr,0) -= 1; }
mspref(a_MSDptr,1) = a_2msd - x2lo;
}
#endif
mspref(b_MSDptr,0) = 1; mspref(b_MSDptr,1) = x<<1; // b[n-1] ablegen
}
{var uintC j = 0;
var uintD* a_mptr = a_MSDptr mspop 0;
var uintD* a_lptr = a_MSDptr mspop 2;
var uintD* b_ptr = b_MSDptr mspop 2;
// Wurzel-Hauptschleife
until (++j == n) // j=1,...,n
{ // b_MSDptr = Pointer auf b[n], b_ptr = Pointer hinter b[n-j].
// a_mptr = Pointer auf a[2n-j], a_lptr = Pointer hinter a[2n-2j].
// Bestimme b* :
var uintD b_stern;
{ var uintD a_1d = mspref(a_mptr,0); // a[2n-j], =0 oder =1
var uintD a_2d = mspref(a_mptr,1); // a[2n-j-1]
var uintD a_3d = mspref(a_mptr,2); // a[2n-j-2]
// a[2n-j]*beta^2+a[2n-j-1]*beta+a[2n-j-2] durch 2 dividieren,
// dann durch b_msd = b[n-1] dividieren:
#if HAVE_DD
var uintDD a_123dd = highlowDD(a_2d,a_3d);
a_123dd = a_123dd>>1; if (!(a_1d==0)) { a_123dd |= bit(2*intDsize-1); }
if (highD(a_123dd) >= b_msd)
{ b_stern = bitm(intDsize)-1; } // bei Überlauf: beta-1
else
{ divuD(a_123dd,b_msd, b_stern=,); }
#else
a_3d = a_3d>>1; if (!((a_2d & bit(0)) ==0)) { a_3d |= bit(intDsize-1); }
a_2d = a_2d>>1; if (!(a_1d==0)) { a_2d |= bit(intDsize-1); }
if (a_2d >= b_msd)
{ b_stern = bitm(intDsize)-1; } // bei Überlauf: beta-1
else
{ divuD(a_2d,a_3d,b_msd, b_stern=,); }
#endif
}
// b_stern = b* in der ersten Schätzung.
a_lptr = a_lptr mspop 1; // Pointer hinter a[2n-2j-1]
// Subtraktion [a[2n-j],...,a[2n-2j-1]] -= b* * [b[n],b[n-1],...,b[n-j]] :
{ var uintD carry = mulusub_loop_lsp(b_stern,b_ptr,a_lptr,j+1);
if (mspref(a_mptr,0) >= carry)
{ mspref(a_mptr,0) -= carry; }
else
{ mspref(a_mptr,0) -= carry; // a[2n-j] wird <0
// negativer Übertrag -> b* nach unten korrigieren:
loop
{ b_stern = b_stern-1; // b* := b* - 1
// erhöhe [a[2n-j],...,a[2n-2j-1]] um [b[n],...,b[n-j]]:
if (!(( addto_loop_lsp(b_ptr,a_lptr,j+1) ==0)))
if ((mspref(a_mptr,0) += 1) ==0) // Übertrag zu a[2n-j]
break; // macht a[2n-j] wieder >=0 -> Subtraktionsergebnis >=0
} } }
// b_stern = b* in der zweiten Schätzung.
a_mptr = a_mptr mspop 1; // Pointer auf a[2n-j-1]
a_lptr = a_lptr mspop 1; // Pointer hinter a[2n-2j-2]
// Ziehe b* ^ 2 von [a[2n-j],...,a[2n-2j-2]] ab:
#if HAVE_DD
{ var uintDD b_stern_2 = muluD(b_stern,b_stern);
var uintDD a_12dd = highlowDD(lspref(a_lptr,1),lspref(a_lptr,0)); // a[2n-2j-1]*beta+a[2n-2j-2]
var uintDD a_12dd_new = a_12dd - b_stern_2;
lspref(a_lptr,1) = highD(a_12dd_new); lspref(a_lptr,0) = lowD(a_12dd_new);
if (a_12dd >= b_stern_2) goto b_stern_ok;
}
#else
{ var uintD b_stern_2_hi;
var uintD b_stern_2_lo;
muluD(b_stern,b_stern, b_stern_2_hi=,b_stern_2_lo=);
{var uintD a_1d = lspref(a_lptr,1); // a[2n-2j-1]
var uintD a_2d = lspref(a_lptr,0); // a[2n-2j-2]
var uintD a_1d_new = a_1d - b_stern_2_hi;
var uintD a_2d_new = a_2d - b_stern_2_lo;
if (a_2d < b_stern_2_lo) { a_1d_new -= 1; }
lspref(a_lptr,1) = a_1d_new; lspref(a_lptr,0) = a_2d_new;
if ((a_1d > b_stern_2_hi)
|| ((a_1d == b_stern_2_hi) && (a_2d >= b_stern_2_lo))
)
goto b_stern_ok;
}}
#endif
if (TRUE)
{ // muß noch [a[2n-j],...,a[2n-2j]] um 1 erniedrigen:
if ( dec_loop_lsp(a_lptr lspop 2,j+1) ==0) goto b_stern_ok;
// Subtraktion von b*^2 lieferte negativen Carry
b_stern = b_stern-1; // b* := b* - 1
// erhöhe [a[2n-j-1],...,a[2n-2j-2]] um [b[n],...,b[n-j],0] + 2 * b* + 1
if ((sintD)b_stern < 0) { mspref(b_ptr,-1) |= bit(0); } // höchstes Bit von b* in b[n-j] ablegen
mspref(b_ptr,0) = (uintD)(b_stern<<1)+1; // niedrige Bits von b* und eine 1 als b[n-j-1] ablegen
addto_loop_lsp(b_ptr mspop 1,a_lptr,j+2);
// (a[2n-j] wird nicht mehr gebraucht.)
mspref(b_ptr,0) -= 1; // niedrige Bits von b* in b[n-j-1] ablegen
b_ptr = b_ptr mspop 1;
}
else
b_stern_ok:
{ // b* als b[n-j-1] ablegen:
if ((sintD)b_stern < 0) { mspref(b_ptr,-1) |= bit(0); } // höchstes Bit von b* in b[n-j] ablegen
mspref(b_ptr,0) = (uintD)(b_stern<<1); // niedrige Bits von b* als b[n-j-1] ablegen
b_ptr = b_ptr mspop 1;
}
}
// b_MSDptr = Pointer auf b[n], b_ptr = Pointer hinter b[0].
// a_mptr = Pointer auf a[n].
// Schiebe [b[n],...,b[0]] um s+1 Bits nach rechts:
if (s == intDsize-1)
{ lsshrink(b_ptr); }
else
{ shiftright_loop_msp(b_MSDptr,n+1,s+1); msshrink(b_MSDptr); }
// b = b_MSDptr/n/b_ptr ist fertig, eine NUDS.
b_->MSDptr = b_MSDptr; b_->len = n; b_->LSDptr = b_ptr;
// Teste, ob alle a[n],...,a[0]=0 sind:
if (test_loop_msp(a_mptr,n+1))
{ return cl_false; }
else
{ return cl_true; } // ja -> Wurzel exakt
}}
}
// Bit complexity (N := a_len): O(M(N)).
} // namespace cln
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