% Hallo!
% 
% Da offensichtlich viele deutschsprachige Benutzer von
% EULER existieren, die nicht genug Englisch beherrschen,
% um die Hilfe zu verstehen, will ich hier versuchen, eine
% kurze Einführung in Deutsch zu geben.
% 
% Leider lohnt es sich nicht, die Hilfetexte zu übersetzen.
% Aber vielleicht findet sich da jemand?
% 
% Führen Sie die folgenden Kommandos Schritt für Schritt
% aus.
>(3+4)*(5+6)/3
% Neben solchen trivialen Rechnungen, bei denen die üblichen
% Regeln beacthtet werden, kann EULER die gängigen mathematischen
% Funktionen berechnen.
>exp(log(asin(sin(1.2))))
% Natürlich kann EULER auch Variablen verwenden.
>a=sin(0.1); b=cos(0.1); a^2+b^2
% Bei Variablennamen werden Groá- und Kleinbuchstaben unterschieden,
% und es sind alle Kombinationen aus Buchstaben und Zahlen
% zulässig.
>S1=25; alpha=3; alpha*S1
% Auch komplexe Rechnungen sind möglich.
>I*I
% EULER kann Funktionen mit komplexen Argumenten berechnen.
>z=2+3i; sin(z^2+z)
% Ein anderer Datentyp ist das Intervall. EULER kann mit
% Intervallen rechnen. Das Ergebnis ist ein Intervall,
% das alle möglichen Ergebnisse einschließt.
>A=~-1,2~; A*A
% ~-1,2~*~-1,2~ hat als kleinstmögliches Ergebnis -2=-1*2
% und als größtes Ergebnis 4=2*2. Dies unterscheidet sich
% von ~-1,2~ zum Quadrat.
>A^2
% Falls ein Intervall in einer Operation vorkommt, ist
% das Ergebnis ein Intervall.
>~1,1~/3*3
% Diese Datentypen kann EULER zu Vektoren und Matrizen
% kombinieren.
>[1,2,3]
>[1,2;3,4]
% Oder komplexe Matrizen.
>[1,1+1i;3i,2]
% Es gibt auch Matrizen von Intervallen.
>[~1,2~,4,5,~6~]
% Das Matrixprodukt wird mit . ausgeführt.
>A=[1,2;3,4]; A.A
% Dagegen werden Operatoren wie * gliedweise ausgeführt.
>v=[1,2,3,4]; v*v
% Damit lassen sich leicht Funktionstafeln erstellen. Zunächst
% erstellen wir einen Vektor t=-1, -0.99, ..., 0.99, 1.
% Danach werten wir t^3-t in diesen Punkten aus. Das Ergebnis
% wird mit ; unterdrückt.
>t=-1:0.01:1; s=t^3-t;
% Aber wir können es plotten.
>xplot(t,s); wait(20);
% fplot macht dasselbe. Wir müssen nur einen Ausdruck in
% x eingeben.
>fplot("x^3-x",-1,1); wait(20);
% Es existieren auch Funktionen, die aus Vektoren Zahlen
% machen, wie etwa die Summe.
>sum(1:1000)
% Man kann sehr leicht über 1/k^2 summieren.
>sum(1/(1:1000)^2)
% Der korrekte Wert für n gegen unendlich ist Pi^2/6.
>pi^2/6
% Wir erzeugen ein Bild der Summe 1/k^2 für k=1,...,n mit
% wachsendem n. 
% 
% cumsum erzeugt die kumululative Summe eines Vektors.
>xplot(cumsum(1/(1:500)^2)); wait(20);
% Dasselbe für die Multiplikation. Dies ergibt die Fakultäten.
>cumprod(1:10)
% Z.B. läßt sich die Wachstumsordnung von n! überprüfen.
>n=1:100; xplot(cumprod(n)/((n/E)^(n+1)/sqrt(n))); wait(20);
% Analog lassen sich Tafeln von Funktionen mit zwei Variablen
% erzeugen. Dazu benötigt man zwei Tafeln für die x-, bzw.
% y-Werte einer Matrix von Punkten. Diese erzeugt man mit
% field. Die Funktion field gibt zwei Werte zurück, die
% an x und y zugewiesen werden.
>l=-1:0.1:1; {x,y}=field(l,l); mesh(x^2+y^2); wait(20);
% Es geht aber auch einfacher mit f3dplot.
>f3dplot("x^2+y^3"); wait(20);
% EULER beherrscht auch lineare Algebra. Wir lösen z.B.
% ein Gleichungssystem.
>A=[1,2;3,4]; b=[3;7]; x=A\b
>A.x
% Dies funktioniert auch komplexe Systeme oder Intervallsysteme.
>A=[1i,1+1i;2,3+3i]; fracformat; B=inv(A), shortformat;
% Bis auf Rundungsfehler berechnet man so die inverse Matrix.
>B.A
% EULER hat eine eingebaute Programmiersprache, die eine
% Art fortschrittlicher Basic-Dialekt ist.
% 
% Jede Funktion beginnt mit function name(parameter) und
% endet mit endfunction.
>function f(x)
$return sin(x)*exp(-x)
$endfunction
% Man kann nun den Funktionsnamen an verschiedene Funtionen
% übergeben.
>fplot("f",0,2*pi); wait(20);
% Allerdings kann man immer auch einen Ausdruck in x eingeben.
>fplot("sin(x)*exp(-x)",0,2*pi); wait(20);
% Die Nullstelle bei 3 ist natürlich pi. Wir berechnen
% sie mit dem Bisektionsverfahren.
>bisect("f",3,4)
% Oder mit dem schnelleren Sekantenverfahren.
>secant("f",3,4)
% Mit dem Rombergverfahren läßt sich das Integral numerisch
% berechnen.
>romberg("f",0,pi)
% Dies sollte nur eine Einführung in EULER gewesen sein.
% Für weitere Information starten Sie bitte die Demo (mit
% >load "demo") oder laden Sie eines der mitgelieferten
% Notebooks.
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