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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Discr\'etisation}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\etape{Notations\vspace{0,3cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La vitesse de la paroi est not\'ee
$\vect{v}_p$. On la suppose projet\'ee dans le plan tangent \`a la paroi (si
elle ne l'est pas, le code la projette).

La vitesse du fluide est not\'ee $\vect{u}$. L'indice $I$, $I'$ ou $F$ d\'esigne le
point auquel elle est estim\'ee. La composante tangentielle par rapport \`a la
paroi est not\'ee $u_\tau$. 
 La vitesse du fluide dans le rep\`ere li\'e \`a la paroi (vitesse
``relative'') est not\'ee $\vect{u}^r=\vect{u} - \vect{v}_p$. 

Le rep\`ere orthonorm\'e li\'e \`a la paroi est not\'e 
$\hat {\mathcal R}=(\vect{\tau},\vect{\tilde{n}},\vect{b})$. 
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] $\vect{\tilde{n}}=-\vect{n}$ est le vecteur norm\'e
orthogonal \`a la paroi et dirig\'e vers l'int\'erieur du domaine de calcul.
\item [$\bullet$] $\vect{\tau} = \displaystyle\frac{1}{\|\vect{u}^r_{I'}-(\vect{u}^r_{I'}\,.\,\vect{\tilde{n}})\|}\left[\vect{u}^r_{I'}-(\vect{u}^r_{I'}\,.\,\vect{\tilde{n}})\right]$ est le vecteur norm\'e port\'e par la projection de la vitesse 
relative en $I'$, $\vect{u}^r_{I'}$, dans le plan tangent \`a la
paroi ({\it i.e.} orthogonal \`a $\vect{\tilde{n}}$)~: voir la
figure~\ref{Base_Clptur_fig_flux_clptur}. 
\item [$\bullet$] $\vect{b}$ est le vecteur norm\'e compl\'etant le rep\`ere direct. 
\end{itemize}
\vspace{0.2cm}

La distance adimensionnelle limite s�parant la sous-couche visqueuse de la zone
logarithmique est not�e $y^+_{lim}$. Elle vaut $1/\kappa$ (avec $\kappa = 0,42$)
en g�n�ral (valeur de continuit� du gradient de vitesse) et 10,88 en LES (valeur
de continuit� de la vitesse).

Dans le cas du {\bf mod\`ele \`a deux  \'echelles de vitesse},
\begin{itemize}
\item [-] on note $u_k$ la
vitesse de frottement en paroi obtenue \`a partir de l'\'energie turbulente. 
On note $u^*$ la vitesse de frottement en paroi d\'etermin\'ee \`a
partir de la relation $ \displaystyle\frac{u^r_{\tau,I'}}{u^*} = f(y^+_k)$. 

\item [-] La grandeur
$y^+_k$  repr\'esente une distance \`a la paroi adimensionnelle, soit
$y^+_k= \displaystyle\frac{u_k\,I'F}{\nu}$ ($\nu$ est la viscosit\'e cin\'ematique
mol\'eculaire prise au centre $I$ de la cellule jouxtant la face de bord). 
La fonction $f$ traduit la forme id\'eale du profil de vitesse
. Elle est approch\'ee par morceaux 
par la loi logarithmique $f(z)=f_1(z)= \displaystyle\frac{1}{\kappa}ln(z)+5,2$ pour
$z> y^+_{lim}$
et la loi lin\'eaire $f(z)=f_2(z)=z$ sinon.
 
\item [-] Les deux \'echelles de vitesse $u_k$ et $u^*$ sont simples \`a calculer mais leur obtention 
n\'ecessite la connaissance de l'\'energie turbulente $k_I$ au centre de la
maille jouxtant la face de bord (en $R_{ij}-\varepsilon$, c'est la demi-trace 
du tenseur de Reynolds qui est utilis\'ee). 

\item [-] Le mod\`ele \`a deux \'echelles 
est le mod\`ele par d\'efaut dans \CS. Il permet souvent, et en particulier 
dans les cas avec transfert thermique, de diminuer les effets de certains 
d\'efaut li\'es au mod\`ele $k-\varepsilon$.  
\end{itemize}

On se sert plus bas de $u^*$ et $u_k$ pour les conditions aux limites portant
sur la vitesse et les scalaires (temp\'erature en particulier). 


\begin{equation}\label{Base_Clptur_Eq_Mod_'2ech_Vit}
\begin{array}{l}
\text{\bf Mod\`ele \`a deux \'echelles de vitesse}\\
\left\{\begin{array}{l}
u_k = C_\mu^\frac{1}{4}k_I^\frac{1}{2}\\
u^* \text{solution de } 
\left\{\begin{array}{lll}
\displaystyle\frac{u^r_{\tau,I'}}{u^*} &=
\displaystyle\frac{1}{\kappa}ln(y^+_k)+5,2 &\text { pour }y^+_k>y^+_{lim}\\
\displaystyle\frac{u^r_{\tau,I'}}{u^*} &= y^+_k                &\text { pour }
y^+_k \leqslant y^+_{lim}
\end{array}\right.    \\                  
\qquad\qquad
\text{   avec   } C_\mu =0,09\qquad y^+_k=\displaystyle\frac{u_k\,I'F}{\nu}
                                                      \text{  et }\kappa = 0,42
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation}



Dans le cas du {\bf mod\`ele \`a une \'echelle de vitesse}, 

on note $u^*$ l'unique vitesse
de frottement en paroi solution de l'\'equation 
$\displaystyle\frac{u^r_{\tau,I'}}{u^*} = f(y^+)$. La grandeur
$y^+$  repr\'esente une distance \`a la paroi adimensionnelle, soit
$y^+=\displaystyle\frac{u^*\,I'F}{\nu}$ ($\nu$ est la viscosit\'e cin\'ematique
mol\'eculaire prise au centre $I$ de la cellule jouxtant la face de bord). 
La fonction $f$ traduit la forme id\'eale du profil de vitesse comme pour le mod\`ele \`a deux \'echelles de vitesses. On peut
noter que cette vitesse de frottement, d'un calcul plus d\'elicat (m�thode de Newton), 
s'obtient  cependant sans faire r\'ef\'erence aux
variables turbulentes ($k$, $\varepsilon$, $R_{ij}$). Par commodit\'e, on posera
dans le cas du mod\`ele \`a une \'echelle $u_k=u^*$.

On se sert plus bas de $u^*$ et $u_k$ pour les conditions aux limites portant
sur la vitesse et les scalaires (temp\'erature en particulier). 

\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Mod\`ele \`a une \'echelle de vitesse}\\
\left\{\begin{array}{l}
u_k = u^*\\
u^* \text{ solution de } \left\{\begin{array}{lll}
\displaystyle\frac{u^r_{\tau,I'}}{u^*} &=
\displaystyle\frac{1}{\kappa}ln(y^+)+5,2 &\text { pour }y^+>y^+_{lim}\\
\displaystyle\frac{u^r_{\tau,I'}}{u^*} &= y^+                         &\text
{pour } y^+\leqslant y^+_{lim}
\end{array}\right.\\                      
\qquad\qquad\text{   avec   } y^+=\displaystyle\frac{u^*\,I'F}{\nu}
                                                      \text{  et }\kappa=0,42
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation}

 
{\bf Remarque~:} Il faut noter que le sous-programme utilisateur \fort{usruet} permet de
modifier la valeur des \'echelles de vitesses. On donne ci-dessous trois
exemples sur la base du mod\`ele \`a deux \'echelles de vitesses.
\begin{itemize}
\item Ainsi, on peut implanter une loi de paroi sp\'ecifique de type~: 
$$\displaystyle\frac{u_{\tau,I'}}{u^*}=g(y^+)$$
en imposant simplement
$\displaystyle{u^*}=u_{\tau,I'}/g(y^+)$ (les valeurs de $u_{\tau,I'}$ et de $y^+$
sont disponibles en argument de \fort{usruet}). 
\item Il est \'egalement possible d'utiliser une loi de paroi rugueuse telle que~: 
$$\displaystyle\frac{u_{\tau,I'}}{u^*}=\displaystyle\frac{1}{\kappa}\,ln(\frac{y}{\xi})+8,5$$
o\`u $\xi$ est la hauteur des asp\'erit\'es en paroi~: il suffit d'imposer 
$\displaystyle u^*=u_{\tau,I'}/\left[\frac{1}{\kappa}ln(\frac{y}{\xi})+8,5\right]$,
la valeur de $y$ \'etant d\'eduite de celle de $y^+$, disponible en argument, par la relation 
$\displaystyle y=y^+\frac{\nu}{u_k}$.
\item On pourrait encore utiliser une corr\'elation plus globale de type
Colebrook~:
$$u^*=u_{deb}/\left[-4\sqrt{2}log_{10}\left(\displaystyle\frac{2,51}{2\sqrt{2}D_H^+}+\frac{\xi}{3,7\,D_H}\right)\right]$$
o\`u $D_H^+$ est le diam\`etre hydraulique adimensionn\'e \`a l'aide de $u_k$ et de $\nu$, 
$u_{deb}$ la vitesse d\'ebitante moyenne  
et $\displaystyle\frac{\xi}{D_H}$ la rugosit\'e relative.
\end{itemize}



\etape{Conditions aux limites pour la vitesse en $k-\varepsilon$\vspace{0,3cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On consid\`ere tout d'abord les conditions utilis\'ees dans le cas d'un calcul
r\'ealis\'e avec le mod\`ele $k-\varepsilon$. Ce sont en effet les plus
complexes et les plus g\'en\'erales. 

Les conditions aux limites sont n\'ecessaires pour imposer au bord la contrainte
tangentielle $\sigma_\tau=\rho_Iu^*u_k$ ad\'equate dans l'\'equation de  quantit\'e de
mouvement\footnote{Proposition de modification des conditions aux limites de
paroi turbulente pour le Solveur Commun dans le cadre du mod\`ele
$k-\varepsilon$ standard, rapport EDF HI-81/00/019/A, 2000, M. Boucker, J.-D. Mattei.} 
($\rho_I$ est la masse volumique au centre de la
cellule $I$). Le terme qui n\'ecessite des conditions aux limites est celui qui contient la
d\'eriv\'ee de la vitesse dans la direction normale \`a la paroi, 
soit\footnote{Le terme en gradient transpos\'e est trait\'e dans \fort{vissec} 
et ne sera pas consid\'er\'e ici.}~:
$(\mu_I+\mu_{t,I})\ggrad{\vect{u}}\,\vect{n}$. Il appara\^\i t au second membre
de l'\'equation de quantit\'e de mouvement usuelle (voir \fort{bilsc2} et \fort{preduv}). 

Dans le cas o\`u le mod\`ele $k-\varepsilon$ a tendance \`a surestimer la
production de l'\'energie turbulente, l'\'echelle de longueur du mod\`ele,
$L_{k-\varepsilon}$, 
peut devenir significativement plus grande que l'\'echelle th\'eorique maximale
des tourbillons de la couche limite turbulente $L_{\text{th\'eo}}$. On note : 
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
L_{k-\varepsilon} = C_{\mu}\displaystyle\frac{k^\frac{3}{2}}{\varepsilon}\\
L_{\text{th\'eo}} = \kappa\, I'F
\end{array}\right.
\end{equation}

Dans le cas o\`u $L_{k-\varepsilon}>L_{\text{th\'eo}}$, on a donc
$\mu_{t,I}>\mu_{t}^{lm}$ avec $\mu_{t,I}$ la viscosit\'e turbulente du mod\`ele
$k-\varepsilon$ au point $I$ et $\mu_{t}^{lm}=\rho_I L_{\text{th\'eo}}u_k$ la
viscosit\'e turbulente du mod\`ele de longueur de m\'elange. En outre, la
contrainte tangentielle peut s'\'ecrire en faisant appara\^\i tre la viscosit\'e
turbulente, soit~: 
\begin{equation}
\sigma_\tau = \rho_Iu^*u_k = \displaystyle\frac{u^*}{\kappa\, I'F}\underbrace{\rho_I\kappa\, I'F\, u_k}_{\mu^{lm}_t}
\end{equation}
L'\'echelle de viscosit\'e introduite dans la contrainte est alors en
contradiction avec celle d\'eduite de la turbulence calcul\'ee alentour par le
mod\`ele. On pr\'ef\`ere d\`es lors \'ecrire, en utilisant l'\'echelle de
longueur du $k-\varepsilon$ chaque fois qu'elle est inf\'erieure \`a la limite
$L_{\text{th\'eo}}$~: 
\begin{equation}
\sigma_\tau = \displaystyle\frac{u^*}{\kappa\, I'F} max(\mu_{t}^{lm},\mu_{t,I})
\end{equation}

On peut alors utiliser cette valeur  pour le calcul du flux
diffusif qui en d\'epend dans l'\'equation de Navier-Stokes~: 
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_grad_sigma_clptur}
(\mu_I+\mu_{t,I})\ggrad{\vect{u}}\,\vect{n}=-\sigma_\tau \vect{\tau}
\end{equation} 

Or, le gradient de vitesse (gradient \`a la face de bord) est calcul\'e dans le
code sous la forme suivante~: 
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_grad_uf_clptur}
(\mu_I+\mu_{t,I})\ggrad{\vect{u}}\,\vect{n}=
\displaystyle\frac{(\mu_I+\mu_{t,I})}{\overline{I'F}}(\vect{u}_F-\vect{u}_{I'})
\end{equation} 

Du rapprochement de (\ref{Base_Clptur_eq_grad_sigma_clptur}) et de
(\ref{Base_Clptur_eq_grad_uf_clptur}) on tire alors la valeur de $\vect{u}_F$ \`a
imposer, soit $\vect{u}_{F,flux}$~(respect du flux de quantit\'e de mouvement)~:
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_uf_flux_clptur}
\begin{array}{ll}
\vect{u}_{F,flux}&=\vect{u}_{I'}-\displaystyle\frac{\overline{I'F}}{\mu_I+\mu_{t,I}}\sigma_\tau \vect{\tau}\\
                 &=\vect{u}_{I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\, (\mu_I+\mu_{t,I})} max(\mu_{t}^{lm},\mu_{t,I}) \vect{\tau}
\end{array} 
\end{equation} 

En r\'ealit\'e, une approximation suppl\'ementaire est r\'ealis\'ee, qui
consiste \`a imposer la vitesse normale nulle \`a la paroi et \`a utiliser
l'\'equation (\ref{Base_Clptur_eq_uf_flux_clptur}) projet\'ee sur le plan tangent \`a la
paroi, soit~:
\begin{equation}
\vect{u}_{F,flux}=\left[u_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\,
(\mu_I+\mu_{t,I})} max(\mu_{t}^{lm},\mu_{t,I}) \right]\vect{\tau}
\end{equation} 

De plus, si la valeur obtenue pour $y^+$ est
inf\'erieure \`a $y^+_{lim}$ 
 une condition d'adh\'erence est appliqu\'ee. Enfin, on peut
\'egalement faire appara\^\i tre la vitesse de la paroi dans l'expression finale~:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Conditions aux limites sur la vitesse de type ``flux''}\,(k-\varepsilon)\\
\left\{\begin{array}{llr}
\vect{u}_{F,flux}&=\vect{v}_p& \text{ si\ }  y^+\leqslant
			   y^+_{lim} \\ 
\vect{u}_{F,flux}&=\vect{v}_p+&\left[u^r_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\,
(\mu_I+\mu_{t,I})} max(\mu_{t}^{lm},\mu_{t,I}) \right]\vect{\tau} 
\text{ sinon } 
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation} 

Un premier couple de coefficients $A_{flux}$ et $B_{flux}$ s'en d\'eduit (pour
chaque composante de vitesse s\'epar\'ement) et il n'est utilis\'e que pour le
calcul du terme d\'ependant de la contrainte tangentielle (voir \fort{bilsc2})~: 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Coefficients associ\'es aux conditions aux limites sur la vitesse de
type ``flux''} (k-\varepsilon)\\
\left\{\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{llr}
\vect{A}_{flux}&=\vect{v}_p& \text{ si\ } y^+\leqslant y^+_{lim} \\ 
\vect{A}_{flux}&=\vect{v}_p+&\left[u^r_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\,
(\mu_I+\mu_{t,I})} max(\mu_{t}^{lm},\mu_{t,I}) \right]\vect{\tau} \text{ sinon } 
\end{array}\right.  \\
\vect{B}_{flux} = \vect{0}
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation} 

On a vu ci-dessus comment imposer une condition \`a la limite permettant de
calculer correctement le terme en contrainte. Une analyse suppl\'ementaire est
n\'ecessaire pour le calcul des gradients de vitesse. On cherche \`a trouver une
valeur en face de bord qui permette d'obtenir, avec la formulation adopt\'ee pour le gradient, la valeur de la production turbulente la
plus proche possible de la valeur th\'eorique, elle-m\^eme d\'etermin\'ee
en utilisant la loi
logarithmique, pour \'evaluer la d\'eriv\'ee normale de la vitesse tangentielle.
Ainsi, on d\'efinit (au point $I$)~: 
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_ptheo_clptur}
P_{\text{th\'eo}} = \rho_I u^* u_k
\|\displaystyle\frac{\partial u_\tau}{\partial\vect{n}}\|_{I} = 
\rho_I \displaystyle\frac{u_k(u^*)^2}{\kappa\, I'F}
\end{equation}

Par ailleurs, le terme pr\'epond\'erant de la production calcul\'ee dans la
cellule $I$ est, pour les situations classiques ($y$ est l'ordonn\'ee sur l'axe
de vecteur directeur $\vect{\tilde{n}}$), 
\begin{equation}
P_{\text{calc}} =
\mu_{t,I}\left(\displaystyle\frac{\partial u_\tau}{\partial y}\right)^2_{I}
\end{equation}

Or, le gradient normal de la vitesse tangentielle (gradient cellule) est
calcul\'e dans le code en volumes finis et son expression dans le cas d'un
maillage orthogonal et r\'egulier est la suivante (voir les notations sur la figure
\ref{Base_Clptur_fig_bord_ortho_clptur})~:
\begin{equation}
P_{\text{calc}} =
\mu_{t,I}\left(\displaystyle\frac{u_{\tau,G}-u_{\tau,F}}{2d}\right)^2 = 
\mu_{t,I}\left(\displaystyle\frac{u_{\tau,I}+u_{\tau,J}-2u_{\tau,F}}{4d}\right)^2 
\end{equation}
On suppose alors que $u_{\tau,J}$ peut \^etre obtenu \`a partir de $u_{\tau,I}$
et du gradient normal de $u_{\tau}$ \'evalu\'e en G \`a partir de la loi
logarithmique, soit~:
\begin{equation}
\label{Base_Clptur_eq_dvp_lim_utau}
u_{\tau,J}=u_{\tau,I}+ IJ\,.\,(\partial_y u_{\tau})_G+\mathcal{O} (IJ^{\,2}) \approx
u_{\tau,I}+ IJ\,.\,\left[\partial_y \left(\displaystyle
\frac{u^*}{\kappa}\,ln{ (y^+)} + 5,2 \right)\right]_G=
u_{\tau,I}+2d\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\, 2d}
\end{equation}
et l'on obtient alors~:
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_pcalc_clptur}
\begin{array}{lll}
P_{\text{calc}} &=&
\mu_{t,I}\left(\displaystyle\frac{u_{\tau,I}+u_{\tau,I}+2d\frac{u^*}{\kappa\, 2d}-2u_{\tau,F}}{4d}\right)^2 \\
&=&\mu_{t,I}\left(\displaystyle\frac{2u_{\tau,I}+2\frac{u^*}{2\kappa}-2u_{\tau,F}}{4d}\right)^2 = 
\mu_{t,I}\left(\displaystyle\frac{u_{\tau,I}+\frac{u^*}{2\kappa}-u_{\tau,F}}{2d}\right)^2
\end{array}
\end{equation}

\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[height=7cm]{../Base/Clptur/Images/bordortho.pdf}}
\caption{\label{Base_Clptur_fig_bord_ortho_clptur}Cellule de bord - Maillage orthogonal.}
\end{figure}
 
On rapproche alors les \'equations (\ref{Base_Clptur_eq_ptheo_clptur}) et
(\ref{Base_Clptur_eq_pcalc_clptur}) pour imposer que la production calcul\'ee soit \'egale
\`a la la production th\'eorique. On \'etend sans pr\'ecaution les formules
pr\'ec\'edentes aux maillages non orthogonaux (la vitesse en $I$ est 
alors simplement prise en $I'$). 
On obtient alors l'expression suivante pour
$u_{\tau,F}$~: 
\begin{equation}
u_{\tau,F,grad} =u_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa}\left(
2\sqrt{\displaystyle\frac{\rho_I\kappa\, u_k I'F}{\mu_{t,I}} }-\displaystyle\frac{1}{2}\right)
\end{equation}

On impose d'autre part que le gradient reste au moins aussi raide que celui
donn\'e par la d\'eriv\'ee normale du profil de vitesse th\'eorique
(logarithmique) en $I'$~:\\
$\partial_y u_{\tau} = \partial_y (\displaystyle
\frac{u^*}{\kappa}\,ln{ (y^+)} + 5,2 ) =\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\, \overline{I'F}}$, soit
donc~:
\begin{equation}
u_{\tau,F,grad} =u_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa}max\left(1,
2\sqrt{\displaystyle\frac{\rho_I\kappa\, u_k I'F}{\mu_{t,I}} }-\displaystyle\frac{1}{2}\right)
\end{equation}

Enfin, on impose une borne inf\'erieure pour la vitesse en paroi, issue de 
l'hypoth\`ese que l'on se trouve en zone logarithmique~: 
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_ugrad_clptur}
u_{\tau,F,grad} =
max\left(u^*\left(\displaystyle\frac{1}{\kappa}ln(y^+_{lim})+5,2\right), 
u_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa}\left[max\left(1,
2\sqrt{\displaystyle\frac{\rho_I\kappa\, u_k I'F}{\mu_{t,I}}
}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right]\right) 
\end{equation}


La vitesse normale \`a la paroi est impos\'ee nulle. 
De plus, si la valeur obtenue pour $y^+$ est
inf\'erieure \`a $y^+_{lim}$ 
 une condition d'adh\'erence est appliqu\'ee. Enfin, on peut
\'egalement faire appara\^\i tre la vitesse de la paroi dans l'expression finale~:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Conditions aux limites sur la vitesse de type ``gradient''} (k-\varepsilon)\\
\left\{\begin{array}{l}
\vect{u}_{F,grad}=\vect{v}_p 
          \qquad\qquad\text{ si }  y^+\leqslant y^+_{lim} \\ 
\vect{u}_{F,grad}=\vect{v}_p+\\
          \left\{
max\left(u^*\left(\displaystyle\frac{1}{\kappa}ln(y^+_{lim})+5,2\right), 
u^r_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa}\left[max\left(1,
2\sqrt{\displaystyle\frac{\rho_I\kappa\, u_k I'F}{\mu_{t,I}}
}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right]\right) 
\right\}\vect{\tau} 
          \text{ sinon } 
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation} 

Un second couple de coefficients $A_{grad}$ et $B_{grad}$ s'en d\'eduit (pour
chaque composante de vitesse s\'epar\'ement) et est utilis\'e chaque fois que le
gradient de la vitesse est n\'ecessaire (hormis pour les termes d\'ependant de
la contrainte tangentielle, trait\'es dans \fort{bilsc2} au moyen des
coefficients $A_{flux}$ et $B_{flux}$)~: 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Coefficients associ\'es aux conditions aux limites sur la vitesse }\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\text{\bf de type ``gradient''} (k-\varepsilon)\\
\left\{\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
\vect{A}_{grad}=\vect{v}_p 
                    \qquad\qquad\text{ \ si\ } y^+\leqslant y^+_{lim} \\ 
\vect{A}_{grad}=\vect{v}_p+\\
\left\{
max\left(u^*\left(\displaystyle\frac{1}{\kappa}ln(y^+_{lim})+5,2\right), 
u^r_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{u^*}{\kappa}\left[max\left(1,
2\sqrt{\displaystyle\frac{\rho_I\kappa\, u_k I'F}{\mu_{t,I}}
}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right]\right) 
\right\}\vect{\tau} 
    \text{ sinon } 
\end{array}\right.  \\
\vect{B}_{grad} = \vect{0}
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation} 


\etape{Conditions aux limites pour la vitesse en $R_{ij}-\varepsilon$\vspace{0,3cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Les conditions aux limites pour la vitesse avec le mod\`ele $R_{ij}-\varepsilon$
sont plus simples car d'un seul type. 

Avec les m\^emes notations que pr\'ec\'edemment, on souhaite que le gradient de
vitesse tangentielle qui sera calcul\'e en $I$ et qui servira \`a \'evaluer la
production turbulente soit coh\'erent avec la loi logarithmique donnant le
profil de vitesse tangentielle id\'eal. Le gradient th\'eorique est~:

\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_grad_theo_clptur}
G_{\text{th\'eo}} = \left(\displaystyle\frac{\partial u_\tau}{\partial y}\right)_{I'}=\frac{u^*}{\kappa\, I'F}
\end{equation}

Or, le gradient normal de la vitesse tangentielle (gradient cellule) est
calcul\'e dans le code en volumes finis et son expression dans le cas d'un
maillage orthogonal et r\'egulier est la suivante (voir les notations sur la figure
\ref{Base_Clptur_fig_bord_ortho_clptur})~: 
\begin{equation}
G_{\text{calc}}=\displaystyle\frac{u_{\tau,G}-u_{\tau,F}}{2d} = 
\displaystyle\frac{u_{\tau,I}+u_{\tau,J}-2u_{\tau,F}}{4d}
\end{equation}

On suppose alors que $u_{\tau,J}$ peut \^etre obtenu \`a partir de $u_{\tau,I}$
et du gradient normal de $u_{\tau}$ \'evalu\'e en G \`a partir de la loi
logarithmique, soit (voir l'\'equation (\ref{Base_Clptur_eq_dvp_lim_utau})) 
$u_{\tau,J}=u_{\tau,I}+2d\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\, 2d}$ et l'on obtient alors~:
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_grad_calc_clptur}
G_{\text{calc}}=\displaystyle\frac{u_{\tau,I}+u_{\tau,I}+2d\displaystyle\frac{u^*}{\kappa\, 2d}-2u_{\tau,F}}{4d}= 
\displaystyle\frac{2u_{\tau,I}+2\displaystyle\frac{u^*}{2\kappa}-2u_{\tau,F}}{4d}= 
\displaystyle\frac{u_{\tau,I}+\displaystyle\frac{u^*}{2\kappa}-u_{\tau,F}}{2d}
\end{equation}

On rapproche alors les \'equations (\ref{Base_Clptur_eq_grad_theo_clptur}) et
(\ref{Base_Clptur_eq_grad_calc_clptur}) pour obtenir une expression de $u_{\tau,F}$ 
(on \'etend sans pr\'ecaution les formules
pr\'ec\'edentes aux maillages non-orthogonaux, la vitesse en $I$ \'etant 
alors simplement prise en $I'$)~: 

\begin{equation}
u_{\tau,F}= u_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{3u^*}{2\kappa } 
\end{equation}

La vitesse normale \`a la paroi est impos\'ee nulle. 
De plus, si la valeur obtenue pour $y^+$ est
inf\'erieure \`a $y^+_\text{lim}$ une condition d'adh\'erence est appliqu\'ee. Enfin, on peut
\'egalement faire appara\^\i tre la vitesse de la paroi dans l'expression finale~:
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_CL_vitesse_rij_clptur}
\begin{array}{l}
\text{\bf Conditions aux limites sur la vitesse }(R_{ij}-\varepsilon)\\
\left\{\begin{array}{lll}
\vect{u}_{F}&=\vect{v}_p& \text{ \ si\ } y^+\leqslant
			   y^+_{lim} \\ 
\vect{u}_{F}&=\left[u^r_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{3u^*}{2\kappa } \right]\vect{\tau} +\vect{v}_p &\text{ sinon } 
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation} 


Un couple de coefficients $A$ et $B$ s'en d\'eduit (pour
chaque composante de vitesse s\'epar\'ement)~: 
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_AB_vitesse_rij_clptur}
\begin{array}{l}
\text{\bf Coefficients associ\'es aux conditions aux limites sur la vitesse }(R_{ij}-\varepsilon)\\
\left\{\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{lll}
\vect{A}&=\vect{v}_p& \text{ \ si\ } y^+\leqslant y^+_{lim} \\ 
\vect{A}&=\left[u^r_{\tau,I'}-\displaystyle\frac{3u^*}{2\kappa } \right]\vect{\tau}
+\vect{v}_p &\text{ sinon } 
\end{array}\right.\\
\vect{B}= \vect{0}
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation} 



\etape{Conditions aux limites pour la vitesse en laminaire\vspace{0,3cm}}
Lorsqu'aucun mod\`ele de turbulence n'est activ\'e, on travaille implicitement
avec un mod\`ele \`a une \'echelle de vitesse (il n'y a pas de grandeur
turbulente permettant d'obtenir $u_k$) et on applique les m\^emes conditions
\footnote{C'est-\`a-dire que les conditions aux limites sont
{\it exactement} donn\'ees par (\ref{Base_Clptur_eq_CL_vitesse_rij_clptur}) et 
(\ref{Base_Clptur_eq_AB_vitesse_rij_clptur}).} qu'en $R_{ij}-\varepsilon$ ~: le mod\`ele d\'eg\'en\`ere seul. 


\newpage

\etape{Conditions aux limites pour les variables $k$ et $\varepsilon$ (mod\`ele
$k-\varepsilon$ standard)\vspace{0,3cm}}

On impose sur $k$ une condition de Dirichlet tir\'ee de la vitesse de frottement
$u_k$ (se reporter \`a l'\'equation~(\ref{Base_Clptur_Eq_Mod_'2ech_Vit})), soit : 
\begin{equation}
k= \displaystyle\frac{u_k^2}{C_\mu^\frac{1}{2}}
\end{equation} 


On cherche \`a imposer la d\'eriv\'ee normale de $\varepsilon$ \`a partir de la
loi th\'eorique suivante (voir les notations sur la figure \ref{Base_Clptur_fig_bord_ortho_clptur})~:
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_partialep_theo_clptur}
G_{\text{th\'eo},\varepsilon} = \displaystyle\frac{\partial \left(u_k^3/(\kappa\, y)\right)}{\partial y} 
\end{equation} 
 


On utilise le point $M$ pour imposer une condition \`a la limite avec un ordre plus
\'elev\'e en espace. En effet, la simple utilisation de la relation
$\varepsilon_F=\varepsilon_I+d\partial_y\varepsilon_I + O(d^2)$ conduit \`a une
pr\'ecision d'ordre 1. 
En utilisant les d\'eveloppements limit\'es suivants, on peut
obtenir une pr\'ecision \`a l'ordre 2. En effet~:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{ll}
\varepsilon_M&=\varepsilon_I-\displaystyle\frac{d}{2}\partial_y\varepsilon_I+\displaystyle\frac{d^2}{8}\partial^2_y\varepsilon_I+O(d^3)\\
\varepsilon_M&=\varepsilon_F+\displaystyle\frac{d}{2}\partial_y\varepsilon_F+\displaystyle\frac{d^2}{8}\partial^2_y\varepsilon_F+O(d^3)
\end{array}\right.
\end{equation}
Par diff\'erence, ces relations conduisent \`a 
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_epsf_clptur}
\varepsilon_F=\varepsilon_I-\displaystyle\frac{d}{2}(\partial_y\varepsilon_I+\partial_y\varepsilon_F)+O(d^3)
\end{equation}
De plus, on a 
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{ll}
\partial_y\varepsilon_I&=\partial_y\varepsilon_M+d\partial^2_y\varepsilon_M+O(d^2)\\
\partial_y\varepsilon_F&=\partial_y\varepsilon_M-d\partial^2_y\varepsilon_M+O(d^2)
\end{array}\right.
\end{equation}
La somme de ces deux derni\`eres relations permet d'\'etablir
$\partial_y\varepsilon_I+\partial_y\varepsilon_F=2\partial_y\varepsilon_M+O(d^2)$ et, en reportant dans
(\ref{Base_Clptur_eq_epsf_clptur}), on obtient alors une expression de $\varepsilon_F$ \`a
l'ordre 2, comme souhait\'e~:
\begin{equation}
\varepsilon_F=\varepsilon_I-d\partial_y\varepsilon_M+O(d^3)
\end{equation}
On utilise alors la valeur th\'eorique (\ref{Base_Clptur_eq_partialep_theo_clptur}) pour
\'evaluer $\partial_y\varepsilon_M$ et on obtient alors la valeur \`a imposer au bord ($d=I'F$)~:
\begin{equation}
\varepsilon_F=\varepsilon_I+d\displaystyle\frac{ u_k^3}{\kappa\, (d/2)^2}
\end{equation}


Cette relation est \'etendue au cas de maillages non orthogonaux sans
pr\'ecaution (ce qui doit d\'egrader l'ordre en espace).

Par ailleurs, la vitesse $u_k$ est annul\'ee pour $y^+\leqslant y^+_{lim}$,
et on obtient donc  une valeur nulle de $k$ et un flux nul pour $\varepsilon$. 

On a finalement~:
 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Conditions aux limites sur les variables } k \text { \bf et } \varepsilon \\
\left\{\begin{array}{ll}
k_F&= \displaystyle\frac{u_k^2}{C_\mu^\frac{1}{2}}\\
\varepsilon_F&=\varepsilon_{I'}+I'F\displaystyle\frac{ u_k^3}{\kappa\, (I'F/2)^2}
\end{array}\right. \\
\text{avec } u_k = 0 \text { pour } y^+\leqslant y^+_{lim}
\end{array}
\end{equation}
et les coefficients associ\'es 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Coefficients associ\'es aux conditions aux limites sur les variables }
k \text { \bf et } \varepsilon \\
\left\{\begin{array}{llll}
A_k&= \displaystyle\frac{u_k^2}{C_\mu^\frac{1}{2}} &\text{ et } B_k&= 0 \\
A_\varepsilon&=I'F\displaystyle\frac{ u_k^3}{\kappa\, (I'F/2)^2}&\text{ et } B_\varepsilon&= 1 
\end{array}\right.\\
\text{avec } u_k = 0 \text { pour } y^+\leqslant y^+_{lim}
\end{array}
\end{equation}







\etape{Conditions aux limites pour les variables $R_{ij}$ et $\varepsilon$
(mod\`ele $R_{ij}-\varepsilon$ standard)\vspace{0,3cm}}

Pour les tensions de Reynolds, les conditions aux limites dans le rep\`ere local
li\'e \`a la paroi s'expriment sous la forme suivante (la notation $\hat R$ renvoie au rep\`ere local)~:
\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\partial_{\tilde{n}} \hat R_{\tau\tau} = \partial_{\tilde{n}} \hat R_{\tilde{n}\tilde{n}}=\partial_{\tilde{n}} \hat R_{bb}=0  &
\text { et } \hat R_{\tau\tilde{n}} = -u^*u_k  &\text { et  } \hat R_{\tau b} = \hat R_{\tilde{n} b}
= 0
\end{array}
\end{equation}

De plus, si la valeur obtenue pour $y^+$ est
inf\'erieure \`a $y^+_{lim}$, on annule toutes les tensions de Reynolds
au bord (on suppose que la contrainte turbulente est
n\'egligeable devant la contrainte visqueuse). 

Le passage au rep\`ere de calcul est syst\'ematique mais relativement
lourd (rotation d'un tenseur)~: on se reportera \`a la documentation de 
\fort{clsyvt} qui le d\'etaille. On se restreint ici \`a une
pr\'esentation des conditions aux limites dans le rep\`ere local. 

Ainsi, on cherche donc \`a imposer  les valeurs de bord suivantes~: 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Conditions aux limites sur les variables } R_{ij} \\
\left\{\begin{array}{lll}
\text{ si }y^+\leqslant y^+_{lim}&\hat R_{\alpha\alpha,F} = \hat R_{\alpha\beta,F} = 0 \\
\text { sinon }                         &\left\{\begin{array}{l}
\hat R_{\alpha\alpha,F} = \hat R_{\alpha\alpha,I'}  \text{ avec }\alpha \in \{\tau,\tilde{n},b\}\text{ (sans sommation)}\\
\hat R_{\tau\tilde{n}} = -u^*u_k  \text { et } \hat R_{\tau b} = \hat
R_{\tilde{n} b} =0
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation}

Pour la dissipation, la condition appliqu\'ee est identique \`a celle utilis\'ee
en $k-\varepsilon$. On la rappelle ci-dessous~:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Conditions aux limites sur la variable } \varepsilon  \text{ }(R_{ij}-\varepsilon)  \\
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon_F=\varepsilon_{I'}+I'F\displaystyle\frac{ u_k^3}{\kappa\, (I'F/2)^2}\\
\text{avec } u_k = 0 \text { pour } y^+\leqslant y^+_{lim}
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation}

Ces conditions aux limites peuvent \^etre impos\'ees de mani\`ere explicite (par
d\'efaut, ICLPTR=0) ou (semi-) implicite (ICLPTR = 1). Le choix standard
(explicite) conduit aux valeurs suivantes\footnote{On notera
que la valeur de $\varepsilon$ n'est pas reconstruite en $I'$. On esp\`ere ainsi
am\'eliorer la ``stabilit\'e'' car la variable $\varepsilon$  pr\'esente
un tr\`es fort gradient en paroi ($\varepsilon \approx \displaystyle\frac{1}{y}$) et de faibles erreurs de 
reconstruction en $I'$ pourraient donc s'av\'erer particuli\`erement
p\'enalisantes. Il serait cependant
n\'ecessaire de v\'erifier si la stabilit\'e est remise en question avec 
la reconstruction des gradients de \fort{gradrc}.} des coefficients $A$ et $B$~:

\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Coefficients associ\'es aux conditions aux limites explicites sur les variables }
R_{ij} \text{\bf et } \varepsilon \\
\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
\text{Si }y^+\leqslant y^+_{lim}\text{~:}\\
\qquad\begin{array}{lll}
      A_{\hat R_{\alpha\alpha}} = A_{\hat R_{\alpha\beta}} = 0  &\text{ et } B_{\hat R_{\alpha\alpha}} =B_{\hat R_{\alpha\beta}}= 0 &
      \end{array}\\
\text{Sinon~:}\\
\qquad\left\{\begin{array}{lll}
      A_{\hat R_{\alpha\alpha}} = (R_{\alpha\alpha})_I  &\text{ et } B_{\hat R_{\alpha\alpha}} = 0
         &\text{ avec }\alpha \in \{\tau,\tilde{n},b\}\text{ (sans sommation)}\\ 
      A_{\hat R_{\tau \tilde{n}}} = -u^*u_k   &\text{ et } B_{\hat R_{\tau \tilde{n}}} = 0 &\\
      A_{\hat R_{\tau  b}} = A_{\hat R_{\tilde{n} b}} = 0   &\text{ et } B_{\hat R_{\tau b}} =B_{\hat R_{\tilde{n} b}} = 0 &\\
      \end{array}\right.
\end{array}\\
\text{Et dans tous les cas~:}\\
\qquad A_\varepsilon=\varepsilon_{I}+I'F\displaystyle\frac{ u_k^3}{\kappa\, (I'F/2)^2} \text{ et } B_\varepsilon= 0 
\end{array}\right.\\
\text{avec } u_k = 0 \text { pour } y^+\leqslant y^+_{lim}
\end{array}
\end{equation}


Le choix semi-implicite
conduit aux valeurs suivantes des coefficients $A$ et $B$. Elles ne diff\`erent
des pr\'ec\'edentes que pour les tensions de Reynolds diagonales et la dissipation.
Dans le cas g\'en\'eral, l'implicitation de certaines composantes du tenseur
dans le rep\`ere local se traduit par une implicitation partielle pour toutes
les composantes dans le rep\`ere global~: 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{\bf Coefficients associ\'es aux conditions aux limites semi-implicites}\\ 
\qquad\qquad\qquad\qquad\text {\bf sur les variables } R_{ij} \text{\bf et } \varepsilon \\
\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
\text{Si }y^+\leqslant y^+_{lim}\text{~:}\\
\qquad\begin{array}{lll}
      A_{\hat R_{\alpha\alpha}} = A_{\hat R_{\alpha\beta}} = 0  &\text{ et } B_{\hat R_{\alpha\alpha}} =B_{\hat R_{\alpha\beta}}= 0 &
      \end{array}\\
\text{Sinon~:}\\
\qquad\left\{\begin{array}{lll}
      A_{\hat R_{\alpha\alpha}} = 0  &\text{ et } B_{\hat R_{\alpha\alpha}} = 1 &\text{ avec }\alpha \in \{\tau,\tilde{n},b\}\text{ (sans sommation)}\\ 
      A_{\hat R_{\tau \tilde{n}}} = -u^*u_k   &\text{ et } B_{\hat R_{\tau \tilde{n}}} = 0 &\\
      A_{\hat R_{\tau  b}} = A_{\hat R_{\tilde{n} b}} = 0   &\text{ et } B_{\hat R_{\tau b}} =B_{\hat R_{\tilde{n} b}} = 0 &\\
      \end{array}\right.
\end{array}\\
\text{Et dans tous les cas~:}\\
\qquad A_\varepsilon=I'F\displaystyle\frac{ u_k^3}{\kappa\, (I'F/2)^2}\text{ et } B_\varepsilon= 1 
\end{array}\right.\\
\text{avec } u_k = 0 \text { pour } y^+\leqslant y^+_{lim}
\end{array}
\end{equation}




\newpage
\etape{Conditions aux limites pour les {\it VarScalaires}\vspace{0,3cm}}
On ne traite ici que les conditions se pr\'esentant sous la forme d'une valeur
impos\'ee (\`a la paroi ou en retrait de celle-ci avec un coefficient
d'\'echange externe \'eventuel). On se reporte aux notations de la figure
\ref{Base_Clptur_fig_flux_clptur} et \`a la pr\'esentation g\'en\'erale disponible dans
\fort{condli} dont on ne reprend que la partie essentielle ci-dessous. 

La conservation du flux normal au bord pour la variable $f$ s'\'ecrit sous la forme~:
\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_flux_clptur}
\begin{array}{l}
    \underbrace{h_{int}(f_{b,int}-f_{I'})}_{\phi_{int}}
  = \underbrace{h_{b}(f_{b,ext}-f_{I'})}_{\phi_{b}}
  = \left\{\begin{array}{ll}
    \underbrace{h_{imp,ext}(f_{imp,ext}-f_{b,ext})}_{\phi_{\text{\it r\'eel
impos\'e}}} &\text{(condition de Dirichlet)}\\
    \underbrace{\phi_{\text{\it imp,ext}}}_{\phi_{\text{\it r\'eel impos\'e}}}
            &\text{(condition de Neumann)}
           \end{array}\right.
\end{array}
\end{equation}


On r\'earrange ces deux \'equations afin d'obtenir la valeur num\'erique
$f_{b,int}=f_{F}$ \`a imposer en face de paroi, \'etant donn\'ees les valeurs de
$f_{imp,ext}$ et de $h_{imp,ext}$ fix\'ees par l'utilisateur et la valeur $h_{b}$
dict\'ee par les lois de similitude qui seront d\'etaill\'ees plus bas. On
pr\'ecise les coefficients $A$ et $B$ qui s'en d\'eduisent naturellement. 

\begin{equation}\label{Base_Clptur_eq_fbint_clptur}
\begin{array}{l}
\text{\bf Conditions aux limites sur les {\it VarScalaires} }\\
f_{b,int} = 
\underbrace{\displaystyle\frac{h_{imp,ext}}{h_{int}+h_r h_{imp,ext} } f_{imp,ext}}_{A} +
\underbrace{\displaystyle\frac{h_{int}+h_{imp,ext}(h_r-1)}{h_{int}+h_r h_{imp,ext} }}_{B} f_{I'} 
\text{  avec } h_r=\displaystyle\frac{h_{int}}{h_{b}}
\end{array}
\end{equation}


\newpage
{\bf Principe de similitude~: calcul de } $h_b$. 

Dans 
l'expression (\ref{Base_Clptur_eq_fbint_clptur}), seule reste \`a
d\'eterminer la valeur de $h_{b}$, celle de $h_{int}$ \'etant une valeur
num\'erique coh\'erente avec le mode de calcul des gradients aux faces et
pr\'ecis\'ee dans \fort{condli} ($h_{int}=\displaystyle\frac{\alpha}{\overline{I'F}}$). La
valeur de  $h_{b}$ doit permettre de 
relier le flux \`a l'\'ecart entre les valeurs $f_{I'}$ et $f_{b,ext}$ en 
prenant en compte la couche limite (le profil de $f$ n'est pas toujours 
lin\'eaire)~:
\begin{equation}
\phi_b=h_b\,(f_{b,ext}-f_{I'})
\end{equation} 

Les consid\'erations suivantes sont pr\'esent\'ees en adoptant des notations
g\'en\'erales. En particulier, le nombre de Prandtl-Schmidt est not\'e 
$\sigma=\displaystyle\frac{\nu\,\rho\,C}{\alpha}$. 
Lorsque le scalaire $f$ consid\'er\'e est la temp\'erature,  
on a (voir \fort{condli})~: 
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item $C=C_p$ (chaleur massique), 
\item $\alpha=\lambda$ (conductivit\'e mol\'eculaire), 
\item $\sigma = \displaystyle\frac{\nu\,\rho\,C_p}{\lambda} = Pr$ 
       (nombre de Prandtl), 
\item $\sigma_t = Pr_t$ (nombre de Prandtl turbulent), 
\item $\phi=\left(\lambda+\displaystyle\frac{C_p\mu_t}{\sigma_t}\right)
        \displaystyle\frac{\partial T}{\partial y}$ (flux en $Wm^{-2}$). 
\end{list}

On s'est appuy\'e sur la r\'ef\'erence "Convection Heat Transfer", 
Vedat S. Arpaci and Poul S. Larsen, Prentice-Hall, Inc. 

Le flux en paroi s'�crit, pour le scalaire $f$ (le flux est positif s'il est
entrant dans le domaine fluide, comme l'indique l'orientation de l'axe $y$)~: 
\begin{equation}\label{Base_Clptur_Eq_Flux_scalaire}
\phi = -\left(\alpha+C\,\frac{\mu_t}{\sigma_t}\right)
                  \frac{\partial f}{\partial y} 
     = -\rho\,C \left(\displaystyle\frac{\alpha}{\rho\,C}+
                                \frac{\mu_t}{\rho\sigma_t}\right)
                  \frac{\partial f}{\partial y}
\end{equation}

Pour la temp\'erature, avec $a=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho\,C_p}$ et 
$a_t=\displaystyle\frac{\mu_t}{\rho\,\sigma_t}$, 
on a donc, de mani\`ere \'equivalente~:
\begin{equation}
\phi = -\rho\,C_p(a+a_t)\frac{\partial T}{\partial y}
\end{equation}

On introduit $f^*$ afin d'adimensionner $f$, en utilisant la valeur du flux 
au bord $\phi_b$~:
\begin{equation}
f^* = -\displaystyle\frac{\phi_b}{\rho\,C\,u_k}
\end{equation}
Pour la temp\'erature, on a donc~:
\begin{equation}
T^* = -\displaystyle\frac{\phi_b}{\rho\,C_p\,u_k}
\end{equation}

On divise alors les membres de l'\'equation~(\ref{Base_Clptur_Eq_Flux_scalaire}) 
par $\phi_b$. Pour le membre de gauche, on simplifie en utilisant le fait 
que le flux se conserve et donc que $\phi=\phi_b$. Pour le membre de droite, 
on remplace $\phi_b$ par sa valeur $-\rho\,C\,u_k\,f^*$. Avec les notations~: 
\begin{equation}
       \nu=\displaystyle\frac{\mu}{\rho}
\qquad \nu_t=\displaystyle\frac{\mu_t}{\rho}
\qquad y^+=\displaystyle\frac{y\,u_k}{\nu}
\qquad f^+=\displaystyle\frac{f-f_{b,ext}}{f^*}
\end{equation}
on a~:
\begin{equation}\label{Base_Clptur_Eq_Flux_scalaire_adim}
1 =  \left(\displaystyle\frac{1}{\sigma}+
              \displaystyle\frac{1}{\sigma_t}\frac{\nu_t}{\nu}\right)
                  \displaystyle\frac{\partial f^+}{\partial y^+}
\end{equation}

Remarquons d\`es \`a pr\'esent qu'avec les notations pr\'ec\'edentes, 
$h_b$ s'exprime en fonction de $f^+_{I'}$~:
\begin{equation}
h_b=\displaystyle\frac{\phi_b}{f_{b,ext}-f_{I'}}=\frac{\rho\,C\,u_k}{f^+_{I'}}
\end{equation}

Pour d\'eterminer $h_b$, on int\`egre alors 
l'\'equation~(\ref{Base_Clptur_Eq_Flux_scalaire_adim}) afin de disposer de $f^+_{I'}$. 
L'unique difficult\'e consiste alors \`a prescrire une loi de variation de 
$\mathcal{K}=\displaystyle\frac{1}{\sigma}+
              \displaystyle\frac{1}{\sigma_t}\frac{\nu_t}{\nu}$. 


Dans la zone turbulente pleinement d�velopp\'ee
(suffisamment loin des parois, pour $y^+\geqslant y^+_2$), une hypoth\`ese de 
longueur de m\'elange permet de mod\'eliser les variations de $\nu_t$~:
\begin{equation}
\nu_t = l^2 \arrowvert \frac{\partial U}{\partial y} \arrowvert = 
\kappa \,y\,u^*
\end{equation}
De plus, les effets de diffusion de $f$ 
(ou effets "conductifs" lorsque $f$ repr\'esente la temp\'erature) 
sont n\'egligeables devant les effets turbulents~: on n\'eglige alors  
$\displaystyle\frac{1}{\sigma}$ devant 
$\displaystyle\frac{1}{\sigma_t}\frac{\nu_t}{\nu}$. On a donc 
finalement\footnote{On fait l'approximation que les d\'efinitions de $y^+$ 
\`a partir de $u^*$ et  de $u_k$ sont \'equivalentes.}~:
\begin{equation}
\mathcal{K}= \displaystyle\frac{\kappa \,y^+}{\sigma_t} 
\end{equation}

Dans la zone de proche paroi (pour $y^+ < y^+_1$), 
au contraire, la contribution turbulente devient
n\'egligeable devant la contribution mol\'eculaire et on n\'eglige alors 
$\displaystyle\frac{1}{\sigma_t}\frac{\nu_t}{\nu}$ devant 
$\displaystyle\frac{1}{\sigma}$.

Il serait possible de se limiter \`a ces deux zones, mais 
Arpaci et Larsen sugg\`erent d'am\'eliorer le mod\`ele 
en introduisant une zone interm\'ediaire ($y^+_1 \leqslant y^+ < y^+_2$) 
dans laquelle on fait l'hypoth\`ese suivante~:
\begin{equation}
\frac{\nu_t}{\nu} = a_1 (y^+)^3
\end{equation}
o\`u $a_1$ est une constante dont la valeur est obtenue \`a partir de 
corr\'elations exp\'erimentales~:
\begin{equation}
a_1 =\displaystyle\frac{\sigma_t}{1000}
\end{equation}

On a donc le mod\`ele suivant pour $\mathcal{K}$ (voir une illustration sur
la figure~\ref{Base_Clptur_Fig_a_plus_at_fonction_yplus})~:
\begin{equation}
\mathcal{K}=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{\sigma}              
             &\text{pour } y^+ < y^+_1\\
\displaystyle\frac{1}{\sigma}
+\displaystyle\frac{a_1 (y^+)^3}{\sigma_t} 
             &\text{pour } y^+_1 \leqslant y^+ < y^+_2\\
\displaystyle\frac{\kappa \,y^+}{\sigma_t} 
             &\text{pour } y^+_2\leqslant y^+\\
\end{array}
\right.
\end{equation}

\begin{figure}[htp]\label{Base_Clptur_Fig_a_plus_at_fonction_yplus}
\centerline{\includegraphics[height=8cm]{../Base/Clptur/Images/clthermique.pdf}}
\caption{Courbes $(a+a_t)/\nu$ fonction de $y^+$ obtenues 
                       pour $\sigma=1$ et $\sigma_t=1$.}
\end{figure}


Les valeurs de $y^+_1$ et $y^+_2$ sont obtenues en calculant les 
points d'intersection des lois de variation utilis\'ees pour $\mathcal{K}$. 


L'existence de la zone interm\'ediaire d\'epend en particulier 
des valeurs de $\sigma$. 
Consid\'erons tout d'abord les cas pour lesquels $\sigma$ n'est pas 
n\'egligeable devant 1. En pratique on consid�re $\sigma > 0,1$ 
(c'est le cas rencontr\'e couramment lorsque le scalaire $f$ repr\'esente 
la temp\'erature de l'air ou de l'eau dans les conditions normales de 
temp\'erature et de pression). On suppose que l'on peut n\'egliger 
$\displaystyle\frac{1}{\sigma}$ devant 
$\displaystyle\frac{a_1 (y^+)^3}{\sigma_t}$ dans la zone interm\'ediaire. 
On obtient alors~:
\begin{equation}
  y^+_1 =\left(\displaystyle\frac{1000}{\sigma}\right)^\frac{1}{3} \qquad\qquad
  y^+_2 = \sqrt{\displaystyle\frac{1000\kappa}{\sigma_t}}
\end{equation}
On int\`egre l'�quation adimensionnelle~(\ref{Base_Clptur_Eq_Flux_scalaire_adim}) 
sous la m\^eme hypoth\`ese et on obtient alors la loi donnant $f^+$~:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
f^+ = \sigma \,y^+ & \text{pour } y^+ < y^+_1 \\
f^+ = a_2 -\displaystyle\frac{\sigma_t}{2\,a_1\,(y^+)^2}& \text{pour } y_1^+ \leqslant y^+ < y_2^+ \\
f^+ = \displaystyle\frac{\sigma_t}{\kappa}\,ln(y^+)+a_3& \text{pour } y^+_2 \leqslant y^+\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
o\`u $a_2$ et $a_3$ sont des constantes d'int\'egration, 
choisies de mani\`ere \`a assurer la
continuit\'e du profil de $f^+$~:
\begin{equation}
a_2=15\sigma^{\frac{2}{3}}\qquad\qquad
a_3=15\sigma^{\frac{2}{3}}-\displaystyle\frac{\sigma_t}{2\kappa}
\left(1+
ln\left(\displaystyle\frac{1000\kappa}{\sigma_t}\right)\right)
\end{equation}


Pla\c cons nous \`a  pr\'esent dans le cas o\`u $\sigma$ est tr\`es petit 
devant 1. En pratique on suppose $\sigma \leqslant 0,1$ (c'est par exemple 
le cas des m\'etaux liquides pour lesquels  la conduction thermique 
s'\'etend tr�s loin et qui pr\'esentent des valeurs du nombre de Prandtl de 
l'ordre de 0,01). La couche interm\'ediaire dispara\^\i t alors et l'abscisse 
du raccord entre la loi utilis\'ee en proche paroi et celle utilis\'ee loin 
de la paroi est donn\'ee par~:
\begin{equation}
y^+_0= \displaystyle\frac{\sigma_t}{\kappa\sigma}
\end{equation}
On int\`egre l'�quation adimensionnelle~(\ref{Base_Clptur_Eq_Flux_scalaire_adim}) 
sous la m\^eme hypoth\`ese et on obtient alors la loi donnant $f^+$~:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
f^+ = \sigma \,y^+ & \text{pour } y^+ \leqslant y^+_0 \\
f^+ = \displaystyle\frac{\sigma_t}{\kappa}\,
        ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y^+_0}\right)+\sigma \,y^+_0
                   & \text{pour } y^+_0 < y^+\\
\end{array}
\right.
\end{equation}


\newpage
Ainsi donc, pour r\'esumer, le calcul de $h_b$ 
\begin{equation}
h_b=\displaystyle\frac{\phi_b}{f_{b,ext}-f_{I'}}=\frac{\rho\,C\,u_k}{f^+_{I'}}
\end{equation}
est r\'ealis\'e en d\'eterminant $f^+_{I'}$ \`a partir de $y^+=y^+_{I'}$ 
selon  les lois suivantes.

Si $\sigma\leqslant 0,1$, on utilise un mod\`ele \`a deux couches~:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
f^+ = \sigma \,y^+ & \text{pour } y^+ \leqslant y^+_0 \\
f^+ = \displaystyle\frac{\sigma_t}{\kappa}\,
        ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y^+_0}\right)+\sigma \,y^+_0
                   & \text{pour } y^+_0 < y^+\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
avec
\begin{equation}
y^+_0= \displaystyle\frac{\sigma_t}{\kappa\sigma}
\end{equation}


Si $\sigma > 0,1$, on utilise un mod\`ele \`a trois couches~:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
f^+ = \sigma \,y^+ & \text{pour } y^+ < y^+_1 \\
f^+ = a_2 -\displaystyle\frac{\sigma_t}{2\,a_1\,(y^+)^2}& \text{pour } y_1^+ \leqslant y^+ < y_2^+ \\
f^+ = \displaystyle\frac{\sigma_t}{\kappa}\,ln(y^+)+a_3& \text{pour } y^+_2 \leqslant y^+\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
avec
\begin{equation}
  y^+_1 =\left(\displaystyle\frac{1000}{\sigma}\right)^\frac{1}{3} \qquad\qquad
  y^+_2 = \sqrt{\displaystyle\frac{1000\kappa}{\sigma_t}}
\end{equation}
et 
\begin{equation}
a_2=15\sigma^{\frac{2}{3}}\qquad\qquad
a_3=15\sigma^{\frac{2}{3}}-\displaystyle\frac{\sigma_t}{2\kappa}
\left(1+
ln\left(\displaystyle\frac{1000\kappa}{\sigma_t}\right)\right)
\end{equation}


