%                      Code_Saturne version 1.3
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\programme{navsto}

\vspace{1cm}
On s'int\'eresse \`a la r\'esolution du syst\`eme d'\'equations de Navier-Stokes
tridimensionnelles monophasiques, \`a une pression, instationnaires, en
incompressible ou faiblement dilatable, bas\'ees sur une discr\'etisation
temporelle de type Euler implicite d'ordre 1 ou Crank-Nicolson d'ordre 2 et sur
une discr\'etisation spatiale  par volumes finis colocalis\'ee. 


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\section{Fonction}
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  Dans ce sous-programme sont calcul\'ees, \`a un pas de temps donn\'e, les
variables vitesse et pression de ce probl\`eme en proc\'edant en
deux  \'etapes issues d'une d\'ecomposition des op\'erateurs (m\'ethode \`a
pas fractionnaires).\\
Les variables sont donc suppos\'ees connues \`a
l'instant ${t^n}$ et on cherche \`a les d\'eterminer \`a l'instant\footnote{La pression est supposée connue à l'instant $t^{n-1+\theta}$ et recherchée en $t^{n+\theta}$, avec $\theta=1$ ou $1/2$ suivant le schéma en temps considéré.} ${t^{n+1}}$. Soit ${\Delta {t^n} ={t^{n+1}- {t^n}}}$ le pas de temps associ\'e. Dans un premier temps, on r\'ealise l'\'etape de
pr\'ediction de la vitesse en r\'esolvant l'\'equation de quantit\'e de
mouvement avec une pression explicite. Suit l'\'etape de correction de la
pression (ou projection de la vitesse) qui permet d'obtenir un champ de vitesse \`a divergence nulle.\\\\
Les \'equations en continu sont donc :   
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho \vect{u}) + \dive(\rho\, \vect{u} \otimes \vect{u})
=\dive(\tens{\sigma}) + \vect{TS} - \tens{K}\,\vect{u}\\ 
\dive(\rho \vect{u}) = \Gamma
\end{array}\right.
\end{equation}

%(plus tard $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \dive(\rho \vect{u}) = \Gamma$)



avec $\rho$ la masse volumique, $\vect{u}$ le champ de vitesse, 
$[\,\vect{TS}-\tens{K}\,\vect{u}\,]$ les autres termes sources ($\tens{K}$~est un 
tenseur diagonal positif par d\'efinition), $\tens{\sigma}$ le tenseur
de contraintes, $\tens{\tau}$ le tenseur des contraintes visqueuses, $\mu$ la
viscosit\'e dynamique (mol\'eculaire et \'eventuellement turbulente), $\kappa$
la viscosité de 
volume (usuellement nulle et négligée dans le code et dans la suite du document,
sauf en compressible),
$\tens{D}$ le tenseur taux de d\'eformation\footnote{\`A ne pas confondre, malgr\'e la m\^eme notation $D$,
avec les flux diffusifs $\vect{D}_{\,ij}$ et $\vect{D}_{\,{b}_{ik}}$ d\'ecrits par la suite dans ce
sous-programme.}, $\Gamma$ le terme source de masse.
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\tens{\sigma} = \tens{\tau} - P\tens{Id}  \\
\tens{\tau} = 2\,\mu\ \tens{D} +\ (\kappa\ - \frac{2}{3}\mu)\  tr({\tens{D}})\
\tens{Id}  \\
\tens{D} = \frac{1}{2}(\ggrad\vect{u}+\,^{t}\ggrad\vect{u})
\end{array}\right.
\end{equation}
 \\

On rappelle la d\'efinition des notations employ\'ees\footnote{en
utilisant la convention de sommation d'Einstein.}~:
\begin{equation}\notag
\left\{\begin{array}{lll}
\left[\ggrad{\vect{a}}\right]_{ij} &=& \partial_j a_i\\
\left[\dive(\tens{\sigma})\right]_i &=& \partial_j \sigma_{ij}\\
\left[\vect{a}\otimes\vect{b}\right]_{ij} &= &
a_i\,b_j\\
\end{array}\right.
\end{equation}
et donc :
\begin{equation}\notag
\begin{array}{lll}
\left[\dive(\vect{a}\otimes\vect{b})\right]_i &= &
\partial_j (a_i\,b_j)
\end{array} 
\end{equation}

\minititre{Remarque}
Dans le cas de la prise en compte d'une masse volumique variable, l'équation de continuité s'écrit :
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \dive{\,(\rho\,\vect{u})} = \Gamma  $$
Cette équation n'est pas prise en compte dans l'étape de projection (on continue à résoudre
seulement
$\displaystyle \dive(\,{\rho\,\vect{u}}) = \Gamma$) alors que le terme
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}$ appara\^{\i}t lors de l'étape de pr\'ediction de la vitesse
dans le sous-programme \fort{preduv}. Si ce terme joue un rôle sensible, l'algorithme compressible
de \CS\ (qui résout l'équation complète) est alors sans doute plus adapté.
